No, estrictamente hablando, no necesitas ningún software «especial» para escribir HTML. Los archivos HTML son, en esencia, archivos de texto plano. Esto significa que puedes crearlos y editarlos con el editor de texto más sencillo que venga con tu sistema operativo.
Por ejemplo, podrías usar:
Una vez que hayas escrito tu código HTML en uno de estos programas, simplemente guardas el archivo con la extensión .html (por ejemplo, mi_pagina.html). Luego, puedes abrir ese archivo directamente con cualquier navegador web (como Google Chrome, Mozilla Firefox, Microsoft Edge, etc.) para ver cómo se muestra tu página.
Dicho esto, aunque no es imprescindible, la mayoría de los desarrolladores web utilizan editores de código especializados o entornos de desarrollo integrados (IDEs) como Visual Studio Code, Sublime Text o Brackets.
Estas herramientas, muchas de ellas gratuitas, ofrecen funcionalidades muy útiles como el resaltado de sintaxis (colores para distinguir las partes del código), autocompletado, detección de errores y extensiones que facilitan enormemente la escritura y organización del código HTML.